Sobre a conectividade na internet:
Desative todos os programas que usam JavaSun, como Skype etc.
Verifique se seu computador possui o Microsoft Virtual Java Machine, se não tiver, baixe-o e instale, poderá encontrá-lo no site da Microsoft.
Adicione o site da caixa à lista de sites seguros. Para isso, abra a página do FGTS, mas não clique ainda no botão "conectividade social", primeiro, vá em ferramentas/opções/segurança/sites confiáveis/sites/adicionar.
Sobre o erro "Internal Error During 10 Authorization Check" pode ser falha no próprio certificado ou má instalação da conectividade social. Teste com outro certificado, caso você possua. Se não tiver, teste o mesmo certificado em outro computador com conectividade social, enfim, tente descobrir se o erro está no certificado ou apenas no computador.
Caso você perceba que o problema é apenas o certificado, faça outro pedido na CEF. Se o problema for o computador, é necessário desinstalar completamente a conectividade social (faça um backup antes) e instalar denovo.
Espero ter ajudado.