Se ele não formalizou o pedido de demissão, ficou só no comentário verbal, acho que é arriscado para a empresa providenciar a rescisão antecipada sem ter a segurança do pedido de demisão formalizado (por escrito).
Creio que o melhor a fazer é deixar passar o tempo e descontar os dias de ausência até o fim do contrato. Acho que essa recusa em assinar o aviso de quebra do contrato tem por intenção forçar a empresa à fazê-lo, isto é, dispensá-lo.
Sugiro que, caso ele volte a trabalhar como se nada tivese acontecido, coloque-o em função de pouca importância, desde que dentro da função para a qual foi contratado (se era um boy, deixe-o de prontidão mas sem pegar serviço; se aux. de escritório, mande-o tirar xerox...), enfim, veja na sua empresa um local em que ele não interfira nem prejudique.
Se ele se mantiver ausente por 30 dias corridos, vc manda telegrama ou carta com aviso de recebimento, convocando-o sob pena de figurar abandono de emprego. Uma vez findo o prazo, providenciar a rescisão e avisar que o valor encontra-se à disposição dele, se ele tiver c/corrente melhor ainda.
Espero ter ajudado.