Boa noite Rafael!
Não, a empresa não quer que você abra mão do seu aviso, ela quer apenas que você dê o seu conhecimento por escrito, é uma forma de documentar que o empregador lhe dispensou e o avisou na presente data, e você está confirmando de que foi avisado da dispensa, que o aviso prévio será indenizado.
Mesmo assinando o aviso e recebendo os seus haveres, isto não impede que você reclame na justiça do trabalho posteriormente, é seu direito reclamar valores que a empresa tenha de te pagar na vigência do contrato, nos últimos 5 anos. Ex.: Horas Extras, Adic. Noturno, Horas itineres, Férias, 13º, FGTS, etc.
Há casos em que empregados que possuem estabilidade (membro de CIPA, Diretores de Sindicato, ou que sofreram acidente do trabalho e ficaram afastados por mais de 15 dias, entre outros) mesmo assinando a carta de dispensa da empresa, depois na justiça, o empregado alcança o direito de reintegração ao cargo e a empresa tem que anular a demissão.
Espero ter esclarecido.