Oi, Ciomara.
Ninguém melhor que o Sindicato da sua categoria para elucidar estas dúvidas.
Eu acho que pelo perfil - trabalho externo - ficaria melhor contratar como diarista, já que irá trabalhar dia sim x dia não.
Em relação a "A hora trabalhada será computada a partir do momento que ele sai da cidade do empregador ou a partir do momento que começa a monitorar a escola em outra cidade? " , o início das atividades deve ser quando ele sai de casa para dirigir-se à outra cidade (sendo diarista tem ele tarefas a desempenhar dentro daquele horário), não dá pra excluir intervalos etc pois ele estará à disposição da empresa. Imagine se ele levar 5hs para chegar à outra cidade, precisará pegar a condução às 3hs da manhã na tentativa de iniciar as atividades às 8hs! O trabalhador nem dorme de um dia para outro!! Não tem condição, não é?
Quanto a "E o final do expediente, computa a partir do momento que ele sai da escola ou quando chega na cidade do empregador?" , como diarista deverá ter estabelecida a hora de início e de fim de jornada, não importa onde estará fisicamente, obvio que estando a disposição da empresa, realizando tarefas e ultrapassar aquele horário fixado como fim da jornada diária, haverá a computação de hora extra.
Em referência ao ".. caso o monitor tenha que pernoitar na cidade onde foi monitorar a escola, é computado hora extra depois que parar o serviço?" , não computa-se hora-extra pelo simples pernoite, mas o empregador deve bancar a despesa do pernoite, inclusive em se tratando de viagem as despesas (transporte/combustível, alimentação e hospedagem) correm exclusivamente por conta do empregador.
Maiores e melhores detalhes, amiga Ciomara, sugiro buscar a orientação do sindicato que poderá estabelecer valores mínimo para pernoite, distâncias, etc.
Boa sorte!!