Boa noite,
Juliana,
O seguro desemprego é calculado baseando-se no último vinculo. Todavia é necessário que o empregado tenha trabalhando consecutivamente nos últimos 6 meses, podendo ser em empresas diferentes; pelo exposto por você houve o desligamento no dia 31/05, então, considerando que precisará ter trabalhado pelo menos 15 dias dentro de cada mês para considerar o mês inteiro nós temos:
MAIO --- OK
JUnho---- Falho, porque você só trabalhou 14 dias, não tem direito ao seguro, ou só obtendo novamente o direito decorrido 6 meses contando a partir desta data.
Se o contrato terminar por término normal de contrato no dia 30/07 ou a seu pedido também não haveria pagamento de seguro, isto porque o seguro desemprego é apenas para a rescisão sem justa causa.
Assim, você não terá direito ao seguro, pois deixou de cumprir duas condições, 1 ter trabalhando 6 meses anteriores a dispensa e ter sido demitida sem justa causa.
Saudações,
Tiago de Lannes