Olá Eliana,
Prepare dois documentos, primeiro a carta de advertência para ele e outro, um documento onde diz que o funcionário se negou a assinar a carta de advertência e que foi advertido verbalmente. Chame duas testemunhas (preferencialmente do próprio RH para que não haja brechas para discussões sobre assedio moral) e chame o funcionário para assinar o documento, explique que o fato dele não assinar de nada vale, pois há formas de comprovar a falta que ele cometeu. Se mesmo assim ele se negar, peça para que as duas testemunhas assinem o outro documento. Deixe toda a documentação preparada em caso de uma ação trabalhista, reclamações do cliente por escrito, testemunhas, etc...
Em minha opinião quando um funcionário se nega a assinar uma carta de advertência (quando realmente for comprovada a falta) o melhor a fazer é demiti-lo sem justa causa mesmo. Ninguém esta livre de cometer erros, porem quando um funcionário não assume a responsabilidade pelos seus erros demonstra falta de caráter e provavelmente trará novos problemas a empresa.
Atenciosamente,