Pedido de demissão e aviso prévio

Boa noite.
Gostaria de que me ajudassem a esclarecer algumas dúvidas: 
1) A empresa pode dispensar o empregado do cumprimento do aviso prévio mesmo que ele queira cumprir o aviso conforme expresso em carta de demissão entregue pelo funcionário informando que irá cumprir o prazo até seu desligamento definitivo?
Neste caso, caso a empresa não queira que o funcionário cumpra o aviso ela não pagará o aviso, já que seria um opção dela dispensar o funcionário do aviso ou não. 

Ou seja, o que quero saber é se o aviso prévio dado pelo empregado e seu eventual cumprimento por vontade própria é um dever ou obrigação dele?

Niel, bom dia.
Se o pediu demissão e a empresa não quer que ele cumpra, então tem que indenizar o empregado, afinal ele quer cumprir, ok..

Niel, ratifico a resposta acima data pelo Carlos Aberto. Se a empresa não quer que o funcionário cumpra o aviso prévio, a mesma deverá indenizar os dias de cumprimento.

Entendido!
Obrigado, pessoal.