Demissão após assinar contrato

Empresa contrata empregado, apenas através de um contrato (sem registro) e após poucos dias dispensa o funcionário alegando não necessitar mais dos serviços deste empregado. Este empregado tem algum direito perante a empresa?

Plenamente. Configura-se no descrito o caso de contrato de trabalho e sua rescisão sem justa causa, o que ensejaria aos seguintes direitos:
- saldo de salário
- aviso prévio
- 13º proporcional
- férias proporcionais + 1/3
- multa rescisória

O empregador apenas cometeu o ilícito de admitir empregado sem registro em sua carteira o que não desconfigura a relação de emprego.

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E no caso de a emrpesa ter se negado a dar uma via do contrato de trabalho para o empregado, como funciona?

Na maioria de situações semelhantes os direitos do trabalhador são conseguidos na justiça do trabalho. A falta de documentos não impede a comprovação de toda a situação por outros meios, como testemunhas.