Livia, não tem nenhum problema, o contrato tem um prazo para acabar e independente se ele sofre acidente 1 dia antes ou no dia do termino ou 1 dia depois, o prazo do contrato não muda, se ele ainda estava no prozo o que você pode fazer é o CAT e ele vai correr atras dos direitos dele junto ao INSS.
Faça o aviso de dispensa para o mesmo, independente se ele assinar ou não, o mesmo esta comunicado de sua dispensa pois o contrato é por prazo determinado e não há o que fazer, ele pode até querer entrar na justiça e tals mais você não tem nenhuma obrigação de aceita-lo se fizer isso dai vira contrato indeterminado previso em Lei, o pagamento foi no dia util seguinte a demissão? Se fez tudo isso certinho não tem com que se encomodar, mai se quiser deixa-lo ai na empresa e depois dispensalo fica ao seu criterio (algumas empresas preferem fazer isso)