Olá Lucas.
O aviso prévio é irrenunciável e por isso o empregado tem de cumprir o aviso. Durante esse periodo o contrato de trabalho flui normalmente. Ao final do prazo do aviso prévio, caso o funcionário não tenha cumprido, ele ficará com faltas nos dias correspondentes, perdendo o direito ao 13º desse mês e refletindo no cálculo das férias.
Mas vale ressaltar que convenções permitem o dispensa do aviso em caso de novo emprego. Há também jurisprudencia que norteia o caso. Segue abaixo:
SUM-276 AVISO PRÉVIO. RENÚNCIA PELO EMPREGADO (mantida) - Res. 121/2003, DJ 19, 20 e 21.11.2003
O direito ao aviso prévio é irrenunciável pelo empregado. O pedido de dispensa de cumprimento não exime o empregador de pagar o respectivo valor, salvo comprovação de haver o prestador dos serviços obtido novo emprego.