E eu achando que era só eu que não estava conseguindo.
Hoje, dia 10/08/2017, o problema persiste. De fato, todos os itens feitos pelo acesso com chave PRI funcionam, EXCETO o extrato.
Uma gambiarra é entrar em "comunicar movimentação do trabalhador" para ver o saldo e a data de atualização. Mas tem um porém. Como hoje é dia 10, sem ver o extrato, fica difícil ter certeza absoluta de que o saldo apresentado para fins rescisórios já está ou não com o depósito de julho/2017, porque eu já vi em outras ocasiões, no dia 10, o saldo ainda não ter o valor do depósito da guia paga no mês, ainda que depois, quando você for olhar o extrato apareça que o depósito da competência tenha sido feito na data de vencimento da guia.
Se alguém que já está com um extrato analítico na mão puder me confirmar se aparece o depósito de 07/08/2017, da competência julho/2017, eu agradeço!
Aos que disseram que o certificado ICP resolve, no meu caso, esses clientes que eu estou tentando fazer estão sem a procuração (acho que expirou, mas como a gente nunca usa, nem me atentei) e não tem como acessar. Como a porcaria do site da Caixa só funciona com JAVA e no IE, a maioria dos meus clientes não consegue fazer a procuração, precisando que eu pegue o certificado e traga pro escritório para fazer. É um saco!